Python 實戰：如何用 Matplotlib 繪製選擇權 3D 風險曲面 (Delta/Gamma)？

在「衍生性商品風險管理 Derivatives Risk Management」一文中 (以下簡稱為前文)，我們曾經討論過衍生性商品、選擇權的風險管理，透過泰勒展開式將影響選擇權的因子 – 選擇權標的物價格 (Price)、波動率 (Volatility)、存續時間 (Time) 等拆解出來。這些就是我們在交易選擇權時需要時刻注意，分析了解風險的分布以決定調整風險的時間與幅度。

本文將說明如何繪製風險曲面 (Risk Profile)。在開始之前，我們需要先把選擇權的評價函數、繪圖函數準備好。以下範例皆以 Python 編寫。

Python 程式碼

選擇權評價函數

在這我們參考「Python 結構型商品 (ELN/PGN) 評價」一文中已經介紹過的一般選擇權的評價函數，除了評價之外，我們把計算 Delta、Gamma 的部分加上。

from math import log, sqrt, exp 
from scipy import stats 

class bs_pv_option(object):
    def __init__(self, S, K, r, T, sigma, b, CallPut, PorS):
        self.S = S
        self.K = K
        self.r = r
        self.T = T
        self.sigma = sigma
        self.b = b
        # 將字串參數轉換為數值係數 (1 或 -1)
        self.CallPut = 1 if CallPut == 'Call' else -1
        self.PorS = 1 if PorS == 'P' else -1

    def price(self):
        d1 = ((log(self.S / self.K) +
              (self.b + 0.5 * self.sigma ** 2 ) * self.T) /
              (self.sigma * sqrt(self.T)))
        d2 = d1 - (self.sigma * sqrt(self.T))
        
        if self.T == 0:
            price = floor(max(self.CallPut * self.S - self.CallPut * self.K, 0) * 10 ** 14) / float(10 ** 14)
        else:
            price = (self.CallPut * self.S * exp((self.b - self.r) * self.T) * stats.norm.cdf(self.CallPut * d1, 0.0, 1.0) - 
                     self.CallPut * self.K * exp(-self.r * self.T) * stats.norm.cdf(self.CallPut * d2, 0.0, 1.0))
        
        return price * self.PorS

    def delta(self):
        d1 = ((log(self.S / self.K) +
              (self.b + 0.5 * self.sigma ** 2 ) * self.T) /
              (self.sigma * sqrt(self.T)))
        if self.CallPut == 1:
            delta = exp((self.b - self.r) * self.T) * stats.norm.cdf(d1, 0.0, 1.0)
        else:
            delta = exp((self.b - self.r) * self.T) * (stats.norm.cdf(d1, 0.0, 1.0) - 1)
        return delta * self.PorS

    def gamma(self):
        d1 = ((log(self.S / self.K) +
              (self.b + 0.5 * self.sigma ** 2 ) * self.T) /
              (self.sigma * sqrt(self.T)))
        gamma = exp((self.b - self.r) * self.T) * (exp(-0.5 * d1 ** 2) / 
                (self.S * self.sigma * sqrt(self.T) * sqrt(2 * pi)))
        return gamma * self.PorS

其中類別中的 __init__ 函數決定了輸入參數的使用方式，並將參數傳遞給類別中的其他函數使用。

delta、gamma 函數則是使用 BS 模型，按照所輸入的股價、履約價、利率、選擇權天期、波動率等參數計算價格，並且將買賣方向 (PorS – purchase or sell) 也納入考量。

實務上，若選擇權、衍生性商品存在封閉解 (Closed Form)，可以直接帶入偏微分公式計算即可 (如上)。若商品的結構較為複雜，存在路徑相依或事件相依的特性，則可以使用差分的方式計算處理。

Theoretical Greeks – 套用公式計算

Practical Greeks – 使用差分方式計算

其中對選擇權類型 CallPut 以及買賣方向 (PorS) 的處理要特別注意，如果在評價過程中想要將其作為參數，需要在變數型別的處理上特別用心。例如，若接收變數時為字串 ‘Call’ or ‘Put’ 但程式碼中計算需要轉換為 1 or -1。

風險曲面計算函數

以目前股價、選擇權存續時間為參考，計算股價、時間於向下與向上一個比率間的 delta、gamma 風險曲面。

from bs_option_class import *
import numpy as np

def opt_greeks_surface(Opt_func, S0, K, r, T, sigma, b, CallPut, PorS, greeks, H = None, RB = None, Type = None):
    """
    計算選擇權 Greeks 的 3D 曲面數據
    """
    mat = np.linspace(0.05, T, 50)               # 時間軸 (Maturity)
    Stock = np.linspace(S0 * 0.5 , S0 * 1.5, 50) # 股價軸 (Price)
    T, S = np.meshgrid(Stock, mat)               # 建立網格
    
    # 初始化選擇權物件
    if Opt_func == bs_pv_option or Opt_func == bs_digital_option:
        o = Opt_func(S0, K, r, T, sigma, b, CallPut, PorS)

    result = np.zeros_like(S)
        
    for t in enumerate(mat):
        for s in enumerate(Stock):
            o.T = t[1]
            o.S = s[1]
            if greeks.upper() == 'D' or greeks.upper() == 'DELTA':
                result[t[0], s[0]] = o.delta()
                opt_type = 'Delta'
            elif greeks.upper() == 'G' or greeks.upper() == 'GAMMA':
                result[t[0], s[0]] = o.gamma()
                opt_type = 'Gamma'
            # 可擴充其他 Greeks...
    return result, T, S, opt_type

這邊利用到 python 的函數功能，可以將不同選擇權的函數名稱 (Opt_func) 與參數做為輸入參數，增加這個函數的使用彈性，不需要維護多個版本的 opt_greeks_surface 函數。

未來即使新增其他類型選擇權的評價類別，透過傳遞新類型選擇權的類別 (class) 名稱到 Opt_func 即可。

而後方參數的部分實際上也可以使用 **param 傳遞字典 (dict) 型態的變數，將選擇權評價公式中的參數存放在字典中即可。

風險曲面繪製函數

將取得的風險曲面數值 (result) 繪製為 3D 的曲面圖。

from matplotlib import cm, pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

def plot_greeks(T, S, result, greeks):
    """
    繪製 3D 風險曲面圖
    """
    fig = plt.figure()
    
    ax = fig.add_subplot(projection='3d')
    surf = ax.plot_surface(T, S, result, rstride=1, cstride=1,
                           cmap=cm.coolwarm, linewidth=0.5, antialiased=True)
    ax.set_xlabel('Stock')
    ax.set_ylabel('Maturity')
    ax.set_title('Option '+greeks)

這之中也可以加入額外參數決定繪製曲面圖的尺寸大小、是否要輸出儲存成圖檔等。

風險曲面繪圖

單一選擇權

計算買入一般買權的 gamma 並繪圖：

result1, T, S, opt_type = opt_greeks_surface(bs_pv_option, 100, 105, 0.02, 1, 0.2, 0.02, 'Call', 'P', 'gamma')

plot_greeks(T, S, result1, opt_type)

計算賣出一般賣權的 gamma 並繪圖：

result1, T, S, opt_type = opt_greeks_surface(bs_pv_option, 100, 95, 0.02, 1, 0.2, 0.02, 'Put', 'S', 'gamma')

plot_greeks(T, S, result2, opt_type)

買賣多筆選擇權 – 投資組合

將買入買權 + 賣出賣權的 gamma 曲面繪圖：

plot_greeks(T, S, result1+result2, opt_type)

💡圖形解讀：
這張圖展示了一個典型的 Gamma Neutral (或接近中性) 策略。你可以看到曲面呈現波浪狀，當股價在履約價附近 (ATM) 時，Gamma 風險最大 (峰值)；而隨著時間流逝 (T 變小)，這個峰值會變得更加尖銳。這提醒交易員：快到期時的 ATM 部位，風險變化極其劇烈。

透過這樣的方式，我們就能順利的將各式各樣的衍生性商品、選擇權的風險曲面都繪製出來，方便前台交易員、中台風險管理人員能夠快速的理解手中握有部位的風險分布狀況，可以更好的掌握風險。

結語

作為「衍生性商品風險管理」的延伸閱讀材料，透過本文的說明，希望大家能夠更進一步的了解如何繪製衍生性商品、選擇權的風險曲面。

當然，知道如何繪製並且能夠實際將風險曲面繪製出來只是第一步。接下來可以研究的還有：

• 更有效率的繪製風險曲面
• 如何更好的解讀風險分布
• 如何清楚的知道手中部位價值變化的損益歸因

這些我們再陸續跟大家說明。如果有任何問題，都歡迎留言討論喔！

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