Python 選擇權視覺化教學：用 Matplotlib 繪製 Vanilla 與 Exotic Option 損益圖

在「新金融商品的組裝藝術」一文中，我們談論過如何透過融合的方式，利用簡單型態的選擇權，組裝出新商品。

在研究、設計金融商品時，可以透過了解既有商品的特性，選擇投資人偏好的元素將之組合形成新商品；這些商品的特性包含：

• 成本 / 收益
  成本與收益為一體之兩面，投資人通常會偏好帶有高收益報酬的商品；而發行商為了迎合投資人的喜好，則會需要增加其他特性來減少選擇權的成本。
• 時間
  跟時間有關的特性，例如，障礙價 (Barrier Level)。在選擇權存續期間，標的股價碰觸到障礙價之後選擇權才會生效、失效，這類特性可以讓選擇權成本 (價格) 降低。

從商品的收益面著手會是最為方便，也最容易能讓人理解金融商品的組成元素。

不過，靜態的到期損益圖 (Payoff Diagram) 只是第一步。在真實交易中，我們更需要監控隨著時間 (Time) 與波動率 (Volatility) 變化的「動態風險」。本文將先帶您掌握基礎的靜態繪圖，如果您想進一步實現動態 3D 風險視覺化或歷史回測，請務必閱讀文末的進階資源。

工欲善其事，必先利其器。在開始之前，我們先要把基本選擇權的收益曲線函數、繪圖函數準備好，以下範例皆由 Python 編寫。

Python 程式碼

收益曲線 (Payoff Diagram)

使用類別 (class) 定義各類型選擇權的收益曲線函數以及相關評價函數。

一般選擇權 (Plain Vanilla Option) – 買/賣權

一般選擇權的收益計算方式為：

買權

$\max(S-K, 0)$

賣權

$\max(K-S, 0)$

class bs_pv_option(object):
    def __init__(self, S, K, r, T, sigma, b, CallPut, PorS):
        """
        初始化選擇權參數
        S: 標的價格
        K: 履約價格
        r: 無風險利率
        T: 到期期間 (年)
        sigma: 波動率
        b: Cost of Carry (b=r 為 Black-Scholes)
        CallPut: 'Call' 或 'Put'
        PorS: 'P' (Purchase/Long) 或 'S' (Sell/Short)
        """
        self.S = S
        self.K = K
        self.r = r
        self.T = T
        self.sigma = sigma
        self.b = b
        # 將字串參數轉換為數值係數 (1 或 -1)
        self.CallPut = 1 if CallPut == 'Call' else -1
        self.PorS = 1 if PorS == 'P' else -1

    def payoff(self):
        payoff = max(self.CallPut * self.S - self.CallPut * self.K, 0)
        return payoff * self.PorS

其中類別中的 __init__ 函數決定了輸入參數的使用方式，並將參數傳遞給類別中的其他函數使用。

payoff 函數相對簡單，只需要考慮按上述收益計算邏輯判斷買賣權的收益報酬，並且將買賣方向 (PorS – purchase or sell) 也納入考量。

數位選擇權 (Digital Option) – 買/賣權

數位選擇權的收益計算方式為：

買權

$\begin{cases} 1 \qquad \text{if}\ S \geq K \\ 0 \qquad \text{if}\ S < K \end{cases}$

賣權

$\begin{cases} 1 \qquad \text{if}\ S \leq K \\ 0 \qquad \text{if}\ S > K \end{cases}$

class bs_digital_option(object):
    def __init__(self, S, K, r, T, sigma, b, CallPut, PorS):
        ...
    def payoff(self):
        payoff = 1 if (self.CallPut * self.S - self.CallPut * self.K) >= 0 else 0
        return payoff * self.PorS

對於數位選擇權而言，收益計算是二元性的。因此 payoff 函數也是根據股價與履約價的關係，判斷是否在價內 (ITM – in the money) 即可，同時也將買賣方向納入考量。

繪圖函數

計算區間內股價的選擇權收益曲線

以目前股價為參考，計算股價於向下 80% 到向上 120% 間的選擇權收益曲線。

from bs_option_class import *
import numpy as np

def opt_payoff(Opt_func, S0, K, r, T, sigma, b, CallPut, PorS, H = None, RB = None, Type = None):
    Stock = np.linspace(S0 * 0.8, S0 * 1.2, 500)

    o = Opt_func(S0, K, r, T, sigma, b, CallPut, PorS)
    result = np.zeros_like(Stock)

    for s in enumerate(Stock):
        o.S = s[1]
        result[s[0]] = o.payoff()
    return result, Stock

這邊利用到 python 的函數功能，可以將不同選擇權的函數名稱 (Opt_func) 與參數做為輸入參數，增加這個函數的使用彈性，不需要維護多個版本的 opt_payoff 函數。

未來即使新增其他類型選擇權的評價類別，透過傳遞新類型選擇權的類別 (class) 名稱到 Opt_func 即可。

而後方參數的部分實際上也可以使用 **param 傳遞字典 (dict) 型態的變數，將選擇權評價公式中的參數存放在字典中即可。

繪圖

將取得的收益 (result) 繪製為 2D 的曲線圖。

from pylab import plt

def plot_payoff(Stock, result):
    plt.figure(figsize=(10, 6))
    plt.plot(Stock, result)
    plt.xlabel('Price')    plt.ylabel('Payoff')
    plt.title('Option Payoff')

將股價區間與收益曲線的結果做為輸入參數，並進行繪圖。

收益曲線繪圖

一般買、賣權與組合策略

計算買入一般買權的收益並繪圖：

result1, Stock = opt_payoff(bs_pv_option, 100, 105, 0.02, 1, 0.2, 0.02, 'Call', 'P')
plot_payoff(Stock, result1)

計算買入一般賣權的收益並繪圖：

result2, Stock = opt_payoff(bs_pv_option, 100, 95, 0.02, 1, 0.2, 0.02, 'Put', 'P')
plot_payoff(Stock, result2)

將買入買權 + 買入賣權的收益繪圖：

plot_payoff(Stock, result1+result2)

這也稱為選擇權的勒式組合 (Strangle)，一般會用於對未來市場行情有大漲或大跌的看法時使用，支付權利金以換取大漲、大跌後的報酬。相對的，如果選擇權到期時股價沒有超過買、賣權的履約價區間 (95 – 105)，則會損失權利金。

數位選擇權與組合策略

計算買入數位選擇權買權的收益並繪圖：

result3, Stock = opt_payoff(bs_digital_option, 100, 95, 0.02, 1, 0.2, 0.02, 'Call', 'P')
plot_payoff(Stock, result3)

計算買入數位選擇權賣權的收益並繪圖：

result2, Stock = opt_payoff(bs_digital_option, 100, 105, 0.02, 1, 0.2, 0.02, 'Put', 'P')
plot_payoff(Stock, result2)

將多個買入數位選擇權買權 + 賣權的收益繪圖：

result1, Stock = opt_payoff(bs_digital_option, 100, 85, 0.02, 1, 0.2, 0.02, 'Call', 'P')
result2, Stock = opt_payoff(bs_digital_option, 100, 105, 0.02, 1, 0.2, 0.02, 'Put', 'P')
result3, Stock = opt_payoff(bs_digital_option, 100, 95, 0.02, 1, 0.2, 0.02, 'Call', 'P')
result4, Stock = opt_payoff(bs_digital_option, 100, 115, 0.02, 1, 0.2, 0.02, 'Put', 'P')
plot_payoff(Stock, result1+result2+result3+result4)

這段程式碼完美展示了「積木堆疊」的威力。讓我們拆解這四個數位選擇權 (Digital Options) 如何堆出「結婚蛋糕」的形狀：

• 基底層 (最寬)：由 Call @ 85 與 Put @ 115 組成，只要股價在 85~115 之間，兩者皆為 1，提供基礎收益。
• 上層 (核心)：由 Call @ 95 與 Put @ 105 組成，當股價進入 95~105 的核心區間時，這兩者額外提供收益，將總 Payoff 推升至最高點。

透過簡單的加法運算，我們就能將冰冷的二元選項 (0 或 1)，組裝成具有多層次收益的結構型商品。

結語：從靜態繪圖到動態量化實戰

作為「解構新金融商品：Barrier, Digital 與 Exotic Option 的組裝藝術」的延伸閱讀材料，透過本文的實作，您已經掌握了如何使用 Python 與 Matplotlib 繪製出標準的選擇權到期損益圖，也了解了財務工程實作上我們需要準備的基礎材料。

然而，在真實交易的世界中，「到期損益」只是冰山一角。

作為一名量化交易者，您更需要知道的是：

1. 當波動率 (Volatility) 改變時，這張損益圖會如何變形？(Vega Risk)
2. 當時間 (Time) 一天天過去，您的部位價值會如何衰退？(Theta Decay)
3. 這個策略如果放在過去兩年的真實市場中，到底是賺是賠？(Backtesting)

如果您想從「畫圖」進階到真正的「策略分析與回測」，歡迎參考我們的進階課程：

🚀Python 選擇權量化實戰：從策略原理到視覺化回測

在這堂課中，我們將提供：

• 3D 風險儀表板：透過滑桿即時互動，看見風險的形狀。
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• 動態損益分析：不僅看到期，更能看見「當下」的損益變化。

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