ELN 與 PGN 怎麼算？結構型商品報價慣例與避險部位解析

這十多年來新金融商品的成長速度飛快，投資人常常從銀行理專、證券營業員口中聽到各式各樣的連動式債券、保本型商品，卻往往被其中複雜的計算公式、厚達十多頁的產品說明書搞的頭昏腦脹，其實這類商品大多都是固定收益商品 (定存或債券) 與選擇權所組成的。

為了讓大家對連動式債券有更深的了解，本文將從連動式債券的價格形成慣例與機制著手，詳細介紹股權連結商品 (ELN) 與保本型商品 (PGN) 的報價慣例，以及避險部位計算方式。首先，大家可以先記住下列式子：

• 股權連結商品 (ELN) = Bond – Option
• 保本型商品 (PGN) = Bond + Option

結構型商品市場慣例

關於 ELN 與 PGN

如同上述關係式，投資人買入 ELN 可以視同為賣出一選擇權^[1]，到期時若連結標的位於價外區間^[2]，選擇權將不具任何價值，因此投資人沒有「義務」付出任何價款，相對的，發行機構必須支付選擇權權利金以及本金在這段時間內所衍生的利息予投資人；另一方面，若連結標的位於價內區間，投資人將有「義務」支付選擇權報酬予發行機構，雖然發行機構依然會支付這段時間所衍生的利息予投資人，但投資人的本金將會遭受虧損，而這也是 ELN 又稱為非保本型商品的原因。

對保本型商品來說，投資人買入 PGN 可以視同為利用「本金與保本金額之間的差額」以及利息的價金總額買入一選擇權，到期時若連結標的位於價內區間，則發行機構必須支付選擇權報酬與保本金額予投資人；若連結標的位於價外區間，則選擇權將不具任何價值，發行機構僅需要支付保本金額予投資人即可。

為協助投資人快速驗證上述觀念，Quants Note 開發了結構型商品 MTM 評價計算機。在深入下方手動計算範例前，建議您先開啟該工具，透過圖形化介面直觀了解 ELN 與 PGN 的零息債券現值與選擇權理論價值拆解。

ELN 實際計算範例 (以 35 天期賣權為例)

百元報價

1. 價外、價內選擇權

$100 \times e^{-rt} – 100 \times \max(1- \frac{S}{K}, 0) \\ = 100 \times e^{-rt} – \frac{100}{K} \max(K-S, 0)$

或

2. 僅用於價內選擇權 (假設為價內 7%)

$107 \times e^{-rt} – 107 \times \max(1- \frac{S}{K}, 0) \\ = 107 \times e^{-rt} – \frac{107}{K} \max(K-S, 0)$

計算範例

假設 ELN 合約名目本金為 10,000,000 元 (上述第一種情形) ，其合約價值計算方式為：

$\text{Contract Value} =100,000 \times \left( 100 \times e^{-rt} – \frac{100}{K} \max(K-S, 0) \right)$

選擇權單位數為 $100,000 \times \frac{100}{K} = \frac{10,000,000}{K}$，從避險的角度來看即為賣出 $\frac{10,000,000}{K}$ 單位、轉換比率為 1：1 的選擇權。

假設賣出 35 天期、價內 7% 的賣權，市場利率為 2.5%、固定收益利率為 1% 且選擇權定價波動率為 35%，期初股價為 50，履約價 53.5。則：

• 固定收益端百元價為 99.90，利息為 0.1
• 選擇權端百元價為 $\frac{100}{53.5} \times 4.3122 = 8.06$
• 而合約百元價則為 $100 – 0.1 – 8.06 = 91.84$

當投資人買進名目本金為 10,000,000 元的 ELN 時，期初必需先支付 9,184,000 元，到期時若：

• 標的股價高於履約價，投資人將可拿回 1 千萬元之名目本金 (包含利息 10,000 元與選擇權權利金 806,000 元)
• 標的股價低於履約價，投資人則可拿回金額

$\text{Payoff} =100,000 \times \left( 100 \ – \frac{100}{K} (K-S) \right) = 100,000 \times \left( 100 \times \frac{S}{K} \right)$

從避險的角度來看，若避險比率為 60.23%，則發行商需要買入

$\text{Hedge Position} =100,000 \times \left( \frac{100}{53.5} \times 0.6023 \right) \approx 112,579.44 \ \text{shares}$

股標的股票，約當為 113 張標的股票。

另一方面，假設 ELN 合約名目本金為 10,700,000 元 (上述第二種情形)，其合約價值計算方式則為：

$\text{Contract Value} =100,000 \times \left( 107 \times e^{-rt} – \frac{107}{K} \max(K-S, 0) \right)$

可視為第一種情形的 1.07 倍即可，合約百元價為 91.844 × 1.07 = 98.273，差別只在於合約的大小不同。

實務上價外選擇權、複雜型態選擇權的報價方式皆為第一種情形，然而價內選擇權則依照發行機構的不同而有不同的報價慣例方式。

PGN 實際計算範例 (以 90% 保本為例)

ELN 多為折價發行，投資人可賺取本金與發行價間的差幅，而 PGN 則為足額發行，發行價即為名目本金，投資人有機會可獲得保本金額加上選擇權期末報酬的價值總和，可以視為利用本金與保本金額間的差額以及利息，購買選擇權。

百元報價

1. 100% 保本、參與率 100%

$100 \times e^{-rt} + 100\% \times 100 \times \max(\frac{S}{K} – 1, 0) \\ = 100 \times e^{-rt} + 100\% \times \frac{100}{K} \max(S-K, 0)$

或

2. 90% 保本、參與率 100%

$90 \times e^{-rt} + 100\% \times 90 \times \max(\frac{S}{K} – 1, 0) \\ = 90 \times e^{-rt} + 100\% \times \frac{90}{K} \max(S-K, 0)$

計算範例

假設 PGN 合約名目本金為 10,000,000元，90% 保本 (上述第二種情形) ，其合約價值計算方式則為：

$\text{Contract Value} =100,000 \times \left( 90 \times e^{-rt} + \frac{90}{K} \max(S-K, 0) \right)$

選擇權單位數為 $100,000 \times \frac{90}{K} = \frac{9,000,000}{K}$，從避險的角度來看即為買入 $\frac{9,000,000}{K}$ 單位、轉換比率為 1：1 的選擇權。

假設買入 365 天期、價平的買權，市場利率為 2.5%、固定收益利率為 1% 且選擇權定價波動率為 27.57%，期初股價為 50，履約價 50。則：

• 固定收益端百元價為 89.104，利息為 0.896
• 選擇權端百元價為 $\frac{90}{50} \times 6.0537 = 10.897$
• 而合約百元價則為 $89.104 + 10.896 = 100.00$

因此，當投資人買進名目本金為 10,000,000 元的 PGN 時，期初必需先支付 10,000,000元，到期時若：

• 標的股價低於履約價，投資人僅能拿回九百萬元之保本金額

$100,000 \times \left( 90 + \frac{90}{K} \times 0 \right) = 100,000 \times 90 = 9,000,000$

• 標的股價高於履約價，則投資人可拿回金額為

$\text{Payoff} =100,000 \times \left( 90 + \frac{90}{K} (S-K) \right) = 100,000 \times \left( 90 \times \frac{S}{K} \right)$

以 90% 保本的商品而言，標的股價需要高於履約價 11.11%，投資人才能拿回期初投資本金，達到損益兩平。

同樣的，從避險的角度來看，若避險比率為 48.62%，則發行商初期需要買入

$\text{Hedge Position} =100,000 \times \left( \frac{90}{50} \times 0.4862 \right) \approx 87,516 \ \text{shares}$

股標的股票，約當為 88 張標的股票。

結語

從上述的分析我們可以清楚的了解，當連動式債券的內含選擇權為一般選擇權 (Plain Vanilla Option) 時，ELN 與 PGN 的價格形成機制、交易慣例以及避險部位的計算方式。

但實務上還有許多因素需要考量，例如如何透過同質性避險策略 (Homogeneity Hedging) 來最佳化發行與避險成本，以及當內含選擇權為複雜選擇權時，上述評價公式尚需進行的細微調整。

相關討論，我們將留待未來的文章再與各位分享。

除了股權類的 ELN/PGN，金融工程的巧思也常被應用在固定收益市場。不同於 ELN 是為了「增強收益」，地產融資常利用價內利率交換 (Deep-In-The-Money Swap) 的結構化融資手法，將債務包裝成衍生性商品合約，藉此在帳面上規避 LTV 監管上限。這類操作展現了金融工程如何被用於創造「隱性槓桿」。

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延伸工具 – 「結構型商品 MTM 評價計算機 (ELN / PGN)」。

延伸閱讀 – 「Python – 評價結構型商品 ELN & PGN」。

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從動態避險了解波動率對衍生性商品評價的影響：《波動率交易與避險策略實務應用分析》

[1] 投資人必須於期初先支付本金，因此可視為賣出具有足額擔保的選擇權。

[2] 價內、價外的定義，視各選擇權形態不同而有所差異。

常見問題 FAQ